precalculus: یک رویکرد خواندن فعال: توابع ابتدایی

در این فعالیت نامه یونانی ( دلتا ) را معرفی می کنیم که نشان دهنده تغییر است ، و ما مفهوم را توسعه می دهیم.

پیش نیازهای این درس دانستن چگونگی محاسبه شیب یک خط و درک معنای شیب است.

زیرمجموعه 1. 3. 1 دانش شهودی

بیایید با درک اینکه شما قبلاً مفهوم نرخ متوسط تغییر را درک کرده ایم ، شروع کنیم ، اما شاید قبلاً این عبارت را نشنیده باشید.

ایست بازرسی 1. 3. 1.

به نظر می رسد ، فقط راه دیگری برای صحبت در مورد شیب است. همانطور که از نام آن پیداست ، به طور متوسط به سرعت تغییر می کند.

نمونه های متداول نرخ متوسط تغییر:

• سفر از پورتلند ، یا به سیاتل ، WA (حدود (200 ) مایل) در ساعت (4 ) ساعت متوسط 50 مایل در ساعت است.
• فشار در سطح اقیانوس حدود 14. 6 (پوند در هر اینچ مربع) است. اگر زیر آب شیرجه بزنید (20 ) پا فشار حدود 23. 6 است. این میانگین افزایش فشار در حدود 0. 45 پوند در هر اینچ مربع ، در هر پا در زیر آب است.
• درآمد ( 108 $ ) برای ساعت (6 ) ساعت کار متوسط نرخ پرداخت ساعتی (18 ) دلار در ساعت است.

در هر مثال تابعی وجود دارد که یک ورودی را با یک خروجی مرتبط می کند. هنگامی که ورودی با مقداری تغییر کند ، خروجی نیز تغییر خواهد کرد (هرچند که معمولاً با مقدار دیگری).

تغییر در خروجی تقسیم شده با تغییر در ورودی ، یک عملکرد نامیده می شود.

مراقب باشید به یاد داشته باشید که ما فقط در مورد میانگین صحبت می کنیم. به عنوان مثال ، هیچ کس نمی تواند با سرعت ثابت از پورتلند به سیاتل رانندگی کند. همیشه توقف و رفتن به ترافیک ، تغییرات در محدودیت سرعت و غیره وجود دارد.

ایست بازرسی 1. 3. 2.

نمودار تعاملی زیر این است که یک تابع (d = f (t) ) که d تعداد مایل قطار از مرکز شهر در ساعت (t ) ساعت بعد از 8 صبح است.

در ریاضی از حرف یونانی ( دلتا ) به معنای "تغییر در" استفاده می کنیم. تغییر بین دو مقدار به طور معمول با کم کردن مقدار قدیمی از یک مقدار جدید اندازه گیری می شود.

در داستان قطار ما که در آن (d = f (t) text ) عبارت ( دلتا f ) به معنای "تغییر در مایل از مرکز شهر" است. با سفر قطار از مرکز شهر ، فاصله از مرکز شهر افزایش می یابد. فاصله جدید از فاصله قدیمی بیشتر است ، بنابراین سفر به دور از مرکز شهر یک تغییر مثبت در فاصله است.

با این حال ، با حرکت قطار به سمت مرکز شهر ، فاصله از مرکز شهر کاهش می یابد. فاصله جدید کمتر از فاصله قدیمی است ، بنابراین سفر به سمت مرکز شهر تغییر منفی در فاصله است.

ایست بازرسی 1. 3. 3.

زیرمجموعه 1. 3. 2 محاسبات متوسط نرخ تغییر

از آنجا که ما از یک نقطه به نقطه دیگر روی یک عملکرد حرکت می کنیم ، دو تغییر وجود دارد که اتفاق می افتد: تغییر در ورودی ( Delta Text Text ) نامیده می شود و تغییر در خروجی نامیده می شود ( Delta متن متن<.>)

اگر این دو تغییر را تقسیم کنیم.

مثال 1. 3. 4.

عملکرد زیر یک منحنی تقاضا را نشان می دهد ، که رابطه بین قیمتی را که در آن کالا فروخته می شود نشان می دهد و تعداد کالاهایی که مردم با آن قیمت خریداری می کنند. وقتی قیمت پایین باشد ، مردم تعداد بیشتری از آنها را خریداری می کنند - وقتی قیمت بالا باشد ، مردم به تعداد زیادی خریداری نمی کنند.

مثلث شیب برچسب نشان می دهد که وقتی قیمت کالا از ( $ 2 ) به ( $ 5 text ) افزایش می یابد ، شماره فروخته شده از (2. 5 ) هزار به (1. 5 ) هزار هزار کاهش می یابد. میانگین نرخ تغییر هزاران فروخته شده با توجه به قیمت دلار:

x08egin frac approx -333.33 frac>> متن پایان

آیا این آشنا به نظر می رسد؟فکر کنید "برخیزید".

بار دیگر ، میانگین نرخ تغییر فقط شیب است. شما باید با مفهوم شیب بسیار آشنا باشید ، به خصوص که مربوط به خطوط و معادله معروف است

شروع y = mx + b پایان

جایی که (m ) شیب خط را نشان می دهد. اکنون می خواهیم از نماد عملکرد تازه آموخته شده خود برای نوشتن شیب به روشی متفاوت استفاده کنیم.

به یاد داشته باشید ، نماد (f (3) ) یک مقدار خروجی را نشان می دهد. این یک شماره استاین خروجی است که ورودی باشد (3 متن<.>)

ایست بازرسی 1. 3. 6.

قسمت بعدی این است: انجام محاسبات واقعی. ما باید مقدار واقعی دو خروجی خود را پیدا کنیم و باید تفاوت بین آنها را پیدا کنیم. در "تفاوت" ریاضی اساساً به معنای تفریق است.

ایست بازرسی 1. 3. 7.

همانطور که در تمرین قبلی نشان داده شده است ، میانگین نرخ تغییر یک تابع بستگی به این دارد که فاصله (بخش) محور ورودی ما استفاده می کنیم.

به عنوان یک نمونه عملی ، میانگین دمای روزانه در پورتلند را به عنوان تابعی از ماه در نظر بگیرید. درجه حرارت تمایل به صعود به عنوان انتقال زمستان به تابستان (میانگین مثبت تغییر) ، در حالی که درجه حرارت تمایل به کاهش در هنگام انتقال تابستان به زمستان (میزان منفی تغییر) دارد.

ایست بازرسی 1. 3. 8.

بگذارید (t = f (m) ) تابعی باشد که میانگین درجه حرارت بالا را نشان می دهد ، (t ) درجه فارنهایت ، در پورتلند به عنوان تابعی از (m text ) تعداد ماه های پس از 31 دسامبر درهر سال معین

در ابتدا با تخمین نتایج از یک نمودار ، خروجی ها را پیدا کردید. در مرحله بعد با محاسبه مستقیم آنها با استفاده از فرمول ، خروجی ها را پیدا خواهید کرد.

ایست بازرسی 1. 3. 9.

یک سؤال که بسیار مطرح می شود ، "آیا مهم است که ما چه نظمی را ارزیابی می کنیم ( Delta f ) و ( Delta x )؟"

برای پاسخ به این سؤال که قبلاً به یاد بیاورید ، از (f (x) = (x-2) (x+3) ) برای محاسبه (f (0) ) و (f (-2) متن استفاده کرده اید.<.>) از این مقادیر برای محاسبه میانگین نرخ تغییر در دو جهت مختلف استفاده کنید.

ایست بازرسی 1. 3. 10.

تنها چیزی که مهم است این است که جفت های مرتب شده در کنار هم نگهداری می شوند. در تمرین قبلی ، جفت های مرتب شده ((0 ، f (0)) ) و ((-2 ، f (-2)) متن بودند<.>) اگر تصمیم گرفتید با (x = 0 ) در مخرج شروع کنید ، باید با (f (0) ) در شماره ساز شروع کنید.

از طرف دیگر ، اگر تصمیم دارید با (x = -2 ) در مخرج شروع کنید ، باید با (f (-2) ) در شماره ساز شروع کنید. ما می گوییم که جفت های سفارش داده شده باید به صورت عمودی تراز شوند.

بیایید این فعالیت را با بازگشت به مثال قطار که در آن فاصله (مایل) قطار از مرکز شهر تابعی از زمان (ساعت) بعد از ساعت 8 صبح به عبارت دیگر است ، به پایان برسانیم. برای پاسخ به این سؤال که قبلاً به یاد بیاورید ، از (f (x) = (x-2) (x+3) ) برای محاسبه (f (0) ) و (f (-2) متن استفاده کرده اید.<.>)