مزیت اجرای یک استراتژی متوسط تفریق

پروژه بهبود آموزش ریاضیات در مدارس (زمان)

تفریق اعداد کامل

شماره و جبر: ماژول 8 سال: 4-7

• دانش فرض شده
• انگیزه
• محتوا
  • جدول اضافی
  • روشهای مختلف تفکر در مورد تفریق
  • خط شماره و تفریق
  • استراتژی های ذهنی برای تفریق
  • الگوریتم تفریق استاندارد
  • رابطه بین تفریق و علاوه بر این
  • درک از نماد هندو و عربی و مقدار مکان همانطور که برای تعداد کامل اعمال می شود (به شمارش ماژول و مقدار مکان مراجعه کنید).
  • قدردانی از این که تفریق را می توان با از بین بردن اشیاء از مجموعه ای از اشیاء و همچنین با تفاوت در اندازه دو مجموعه از اشیاء مدل کرد.
  • آشنایی با استفاده از خط شماره برای افزودن مدل ، و همچنین تفریق هم به عنوان تفاوت و هم از بین بردن.
  • شمارش به جلو و عقب توسط آنهایی و شمارش در خط شماره.
  • درک و تسلط با ، علاوه بر این.
  • تسلط با محاسبه کلیه تفریق شامل تعداد کل تا و از جمله 18.
  • استفاده از علاوه بر مکمل برای انجام تفریق ساده. به عنوان مثال ، برای 15 - 7 = 8 ، ما 7 + 8 = 15 را به یاد می آوریم.

  از چهار عملیات حسابی روی اعداد ، علاوه بر این طبیعی ترین و از نظر تاریخی اولین عملیاتی بود که توسعه یافت. تفریق و علاوه بر این عملیات معکوس است. به عنوان مثال 60 - 3 = 57 معادل 60 = 57 + 3 است.

  تفریق به سؤالاتی مانند:

  1 کلاس 30 دانش آموز دارد و 16 نفر از آنها دختر هستند. چند پسر در کلاس وجود دارد؟2 من 100 دلار دارم و 20 دلار خرج می کنم. چقدر مانده ام؟3 تری 11 شکلات دارد و ماری 7 نیز دارد. تری چند شکلات دیگر دارد؟

  این سؤالات نمونه هایی از سه نوع سؤال مختلف است که برای حل آنها نیاز به تفریق دارد. روشی برای طبقه بندی سؤالاتی که برای حل آنها نیاز به تفریق دارند ، در بخش محتوا مورد بررسی قرار می گیرد.

  جدول اضافی

  ضروری است که دانش آموزان بتوانند تمام تفریق را در جدول اضافی برای دو شماره تک رقمی انجام دهند.

  

  قبل از حرکت به الگوریتم های تفریق ، دانش آموزان باید در کلیه تفریق که جدول اضافی اعداد تک رقمی ، افزودنی های مکمل را فراهم می کند ، مسلط باشند. به عنوان مثال ، هر دو 13 - 5 = 8 و 13 - 8 = 5 دارای افزودنی مکمل 13 = 8 + 5 هستند.

  ما از دانش آموزان می خواهیم که با افزودن و تفریق شامل تعداد کل و شامل 20 (به جای 18 همانطور که در جدول اضافه شده انجام می شود) ، تسلط داشته باشند ، زیرا یادگیری مفید است و به دلیل اینکه محاسبات کمک می کند.

  روشهای مختلف تفکر در مورد تفریق

  سه سؤال زیر سه نوع سؤال را نشان می دهد که برای حل آنها نیاز به تفریق دارند.

  1 متیو در 18 کیلومتری دوچرخه خود را به مرکز خرید سوار می کند. او پس از مسافرت 13 کیلومتری تایر مسطح می گیرد. چقدر بیشتر به مرکز خرید است؟ما قسمت مفقود شده را به عنوان 5 کیلومتر محاسبه می کنیم. 2 جنی ده سیب در یک کاسه دارد و سه سیب به فرد می دهد. جنی چند سیب ترک کرده است؟برای حل این مسئله فکر می کنیم سه نفر از ده نفر را دور کنیم و نتیجه بگیریم که جنی هفت سیب باقی مانده است. 3 هری 123 سانتی متر قد و متحد 112 سانتی متر قد دارد. هری چقدر بلندتر از آلی است؟ما تفاوت بین ارتفاع هری و قد متحد را محاسبه می کنیم و نتیجه می گیریم که هری 11 سانتی متر قد بلندتر از آلی یا متحد 11 سانتی متر کوتاهتر از هری است.

  سه سؤال ارائه شده در بالا ، و سه سؤال در بخش انگیزه ، نمونه هایی از سه نوع موقعیت مختلف است که در آن تفریق ایجاد می شود. این موارد گاهی اوقات نامیده می شوند:

  1 قسمت - Whole (یا اضافه کردن): بخشی از مجموعه یا کمیت مشخص شده است و لازم است که پیدا کنید که چقدر برای ساخت آن "کامل" لازم است. 2 Take - Away: اشیاء از یک مجموعه خارج می شوند یا اندازه گیری با یک مقدار مشخص کاهش می یابد. 3 تفاوت: دو مجموعه یا دو اندازه گیری مقایسه می شوند. در این حالت ، تفریق به عنوان تفاوت تعبیر می شود.

  خط شماره و تفریق

  تفریق با "دور کردن"

  اگر 5 مورد داشته باشید و 2 مورد را از آن خود دور کنید ، تعداد باقیمانده 5 - 2 است که 3 است. به عنوان مثال ، "من 5 مداد داشتم اما خواهرم 2 را از دست داد ، بنابراین اکنون 3 دارم.

  در این حالت ، 2 از 5 به دادن 3. در یک خط عدد ، این را می توان همانطور که نشان داده شده است نشان داد.

  

  با تعداد بیشتری این کار ممکن است با شمارش به عقب (به سمت چپ) توسط آنهایی انجام شود یا تعداد صحیح مراحل برای رسیدن به راه حل را انجام دهید.

  تفریق با "اضافه کردن"

  روش دیگر فکر کردن در مورد تفریق 5 - 2 این است که بپرسید "برای رسیدن به 5 به چه چیزی اضافه می کنید؟"این همچنین می تواند در خط شماره نشان داده شود.

  

  2 + 3 = 5 SO 5 - 2 = 3

  یک نمونه از این "من 5 مداد دارم و برادرم 2 دارد ، بنابراین من 3 مداد دیگر از برادرم دارم".

  با تعداد بیشتری ممکن است تعداد مراحل رسیدن به شماره مورد نظر خود را به جلو (در سمت راست) بشماریم. راه حل تعداد مراحلی است که ما بردیم. وقتی از این طریق به تفریق فکر می کنیم ، از افزودنی مکمل استفاده می کنیم.

  استراتژی های ذهنی برای تفریق

  انتخاب ما از رویکرد برای تفریق بستگی به اعداد موجود دارد. ما معمولاً 20 - 17 را با استفاده از علاوه بر مکمل محاسبه می کنیم ، در حالی که ما با برداشتن 20 - 3 را مستقیماً محاسبه می کنیم. هر دو با یک واقعیت اضافی ، 20 = 17 + 3 مطابقت دارند.

  هنگامی که دانش آموزان شروع به استفاده از یک الگوریتم می کنند ، ممکن است کمتر بتوانند استراتژی های ذهنی جدیدی را تدوین کنند. بنابراین مهم است که به دانش آموزان فرصت داده شود قبل از معرفی یک الگوریتم استاندارد ، انواع استراتژی های ذهنی مفید را توسعه دهند.

  تفریق تک رقمی بدون تغییر در "ستون"

  وقتی دانش آموز 68 - 5 را می بیند ، باید تشخیص دهند که محاسبه ذهنی خیلی پیچیده تر از 8 - 5 نیست و نتیجه می گیرد که 68 - 5 = 63. در انجام این کار ، آنها از نظر روانی 68 و محاسبه می کنند

  68 - 5 = 60 + (8 - 5) = 63

  تجزیه یک مؤلفه اصلی همه الگوریتم های تفریق است.

  تفریق تک رقمی با تغییر به "ستون ها"

  از دانش آموزان خواسته می شود محاسباتی مانند 62 - 5 = 57 را در نظر بگیرند و تشویق شوند که تفریق را به روش های مختلف انجام دهند ، از جمله:

  • شمارش به عقب و پیگیری مراحل.

  

  مثلا،

  • تقسیم تعداد را در مراحل قابل کنترل قرار دهید.

  به عنوان مثال ، 62 - 5 = 62 - 2 - 3 = 60 - 3 = 57

  • تجزیه متفاوت

  خواهد بود ، 62 - 5 = 50 + (12 - 5) = 57

  تفریق با علاوه بر برابر

  اصل علاوه بر این ، مشاهده این است که اگر همان مقدار را به دو عدد اضافه کنید ، تفاوت آنها تغییر نمی کند.

  در مثال ، 37 - 18 = 39 - 20 = 19 ، ما 2 به 37 و 18 اضافه کرده ایم تا محاسبه آسانتر شود.

  توجه داشته باشید که اصل افزودنی برابر نیز به ما می گوید که اگر همان مقدار را از دو شماره تفریق کنید ، تفاوت آنها تغییر نمی کند. این می تواند در یک تفریق ذهنی مانند استفاده شود

  115 - 65 = 100 - 50 = 50 یا 115 −65 = 110 - 60 = 50.

  در مورد استراتژی های مختلف ذهنی برای انجام تفریق زیر بحث کنید. در هر مورد کدام کارآمدترین است؟

  a 87 − 3 b 132 − 14 c 102 − 99 d 234 − 198

  الگوریتم تفریق استاندارد

  ما به یک الگوریتم برای تفریق نیاز داریم ، دقیقاً همانطور که یک الگوریتم برای افزودن داریم. الگوریتم ها باید قوی باشند - به این معنا که ، آنها باید به راحتی به خاطر بسپارند و پیاده سازی کنند.

  در تمام نسخه های الگوریتم تفریق ، شماره بزرگتر را که "شماره بالا" را بالاتر از شماره کمتری می نامیم می نویسیم که "شماره پایین" می نامیم.

  مورد ساده

  هنگامی که هر رقم در "شماره پایین" کمتر یا مساوی با رقم در "شماره بالا" است ، شما به سادگی در هر ستون کم می کنید.

  

  پرونده عمومی

  ما باید با تفریق مانند 81 - 27 = 54 مقابله کنیم

  

  جایی که 7 از آن بیشتر از 1. است. چندین رویکرد استاندارد در این مورد وجود دارد و ما در مورد دو رایج بحث می کنیم.

  روش اضافی برابر (همچنین به عنوان "وام و بازپرداخت" شناخته می شود)

  این روش مبتنی بر این است که اضافه کردن 10 به هر دو عدد تفاوت بین آنها را تغییر نمی دهد. بنابراین می نویسیم

  

  به معنای این است که ما ده مورد را به 34 و یک ده تا 16 اضافه می کنیم. الگوریتم کار می کند زیرا ، از نظر حسابی ، ما در واقع 26 از 44 را کم می کنیم. تفاوت بین 44 و 26 همان تفاوت بین 34 تا 16 است.

  

  در تفریق زیر ، "ده ده ده" را به خط بالا اضافه می کنیم و یک صد به خط پایین اضافه می کنیم.

  

  اگر تعداد زیادی صفر وجود داشته باشد ، ممکن است قبل از اینکه بتوانیم محاسبه را تکمیل کنیم ، همانطور که در زیر نشان داده شده است ، در چندین ستون اضافه کنیم.

  

  اصطلاحات سنتی برای علاوه بر این ، "وام و بازپرداخت" ، یک اصطلاح ناگوار است زیرا این روند را به طور دقیق توصیف نمی کند. عبارت "اضافه کردن همان به هر دو عدد" توصیف دقیق تری از اصل افزودنی برابر است.

  روش تجزیه (همچنین به عنوان "تجارت" شناخته می شود)

  تجارت و تجزیه نام از نمایندگی ارزش اعداد ، همانطور که توسط بلوک های دیین (MAB) الگوبرداری شده است ، حاصل می شود. تفریق یکی از ستون TENS و افزودن ده به ستون Anones می تواند به عنوان بلوک "طولانی" که برای آن معامله می شود ، یا تجزیه شود ، ده مورد "مشاهده می شود.

  ما 34 - 16 را با نوشتن 34 به عنوان 20 + 14 به جای 30 + 4 محاسبه می کنیم.

  از نظر الگوریتمی ، ما مجدداً گروه بندی جدید را به عنوان تبدیل یک ده به ده مورد نشان می دهیم.

  

  محاسبه زیر را در نظر بگیرید.

  

  اگر حس خوبی ندارید ، می تواند با استفاده از روش تجزیه کثیف شود. ما می توانیم محاسبه یک ستون را به طور همزمان پیاده سازی کنیم ، اما این وقت گیر است و می تواند نامرتب و سخت باشد. گاهی اوقات به عنوان معاملات آبشار گفته می شود. مثلا،

  

  مردم غالباً می گویند "من ده ها سال ندارم". اما در واقع آنها 300 ده تن دارند! نکته اصلی این است که به 3000 به عنوان 300 دهانه فکر کنید و یکی از ده ها را به ستون آن ها تغییر دهید و شما را با 299 تن به شما رها کند.

  

  به این ترتیب محاسبه تمیز به نظر می رسد ، سریع است و بررسی آن آسان است. تمام مشکلات تفریق با افزودن جواب به شماره پایین می تواند و باید بررسی شود.

  20 300 - 18 782 را با استفاده از علاوه بر مساوی و استفاده از تجزیه برای مقایسه دو روش محاسبه کنید.

  مزایا و مضرات الگوریتم های افزودنی و تجزیه برابر

  یک مزیت از روش اضافی برابر این است که استفاده از آن آسان تر است و یک طرح مرتب تر و کمتر به هم ریخته تولید می کند. نقطه ضعف روش این است که ریاضیات زیربنای تکنیک دارای یک لایه اضافی از پیچیدگی است.

  مزیت روش تجزیه این است که در ابتدا توضیح آن آسان تر است ، به خصوص با استفاده از بلوک های با ارزش مکان. این الگوریتم به بیان یک شماره در قالب راحت تر بستگی دارد. یک نقطه ضعف این است که طرح می تواند کثیف شود ، عمدتاً به دلیل همه نشانه ها ، و این می تواند منجر به خطاهای بیشتر شود.

  رابطه بین تفریق و علاوه بر این

  ما می توانیم از افزودن مکمل برای حل مشکلات تفریق استفاده کنیم زیرا تفریق عمل معکوس علاوه بر این است. برای "خنثیسازی" علاوه بر این ، تفریق مربوطه و برعکس را انجام می دهیم. این رابطه باعث می شود که فرضیه های تفریق به روشی مشابه علاوه بر این ، وسوسه انگیز شوند ، اما فرض نادرست است و این تفکر می تواند منبع بسیاری از خطاها در حسابی باشد.

  خاصیت هر نوع علاوه بر این نتیجه دو خاصیت است.

  • علاوه بر این ، به این معناست که A + B = B + A برای همه اعداد A و B. به عنوان مثال ، 14 + 6 = 6 + 14
  • علاوه بر این ، به این معناست که (a + b) + c = a + (b + c) برای کل اعداد A ، B و C. به عنوان مثال ، (3 + 2) + 6 = 3 + (2 + 6)

  تفریق به همان اندازه به همان اندازه رفتار نمی شود.

  تفریق رفت و آمد نیست. به عنوان مثال ، 2 - 4 ≠ 4 - 2

  تفریق انجمنی نیست. به عنوان مثال ، 6 - (4 - 1) ≠ (6 - 4) - 1

  به طور خاص ، خاصیت هر مرتبه علاوه بر این به تفریق منتقل نمی شود. با تفریق ، ترتیب انجام عملیات بسیار مهم است. عدم مشاهده و درک این امر می تواند باعث ایجاد خطاهای حسابی بسیاری شود.

  تفریق یک عمل اساسی است. تسلط بر حسابی از جمله تفریق ، پایه ای محکم برای جبر و توابع فراهم می کند.

  تسلط با تفریق برای تقسیم ضروری است. تقسیم می تواند بعضی اوقات به عنوان تفریق مکرر تصور شود. تفریق هنگام انجام محاسبات تقسیم ، به ویژه هنگامی که الگوریتم های تقسیم را انجام می دهیم استفاده می شود.

  از اصل علاوه بر برابر می توان برای کاهش تفریق اعداد صحیح به یک مشکل دو مرحله ای که شامل افزودن و تفریق تعداد کامل است ، استفاده کرد. به عنوان مثال ، −4 - (−6) = 2 - 0 = 2.

  حسابی مصرف کننده شامل بسیاری از کاربردهای تفریق است. این موارد از محاسبات اساسی ، مانند یافتن تغییر در معامله مالی ، تا محاسبه تخفیف ها و بازپرداخت وام ها متغیر است.

  توسعه اولیه تفریق مستند نیست زیرا اساساً ماقبل تاریخ است. قدیمی ترین سوابق کتبی محاسبات ریاضی بیش از 4000 سال به مصریان باستان و بابلی ها برمی گردد. این اسناد شامل مشکلات تفریق است ، بنابراین می دانیم که تفریق به عنوان یک عملیات قبلاً در آن زمان مورد استفاده قرار گرفته است.

  مانند همه حسابی ، استفاده از سیستم ارزش مکان هندو-عربی توسعه الگوریتم های کارآمد را امکان پذیر می کند.

  دو الگوریتم مورد بحث در این ماژول و تغییرات آنها برای قرن ها در اروپا و آسیا مورد استفاده قرار گرفته است. در Crafte of Nombryge (حدود 1300 میلادی) یکی از اولین کتابها به زبان انگلیسی در مورد الگوریتم ها ، توضیحی از تفریق 1134 از 2122 وجود دارد. و سپس اضافه کنید. 2. "2" در "TENS Place" به "1" و غیره تغییر می یابد.

  از تغییرات الگوریتم های دیگر نیز در قرن های اولیه استفاده شد. به عنوان مثال ، Borghi (1484) ، Fibonacci (1202) و Maximus planudes (حدود 1340) از این روش ها استفاده کردند.

  یوهانس ویدمن نویسنده کتاب اولیه حسابی بود که در سال 1489 به آلمانی منتشر شد. این کتاب مشهور شده است زیرا حاوی اولین ظاهر + و - علائم برای افزودن و تفریق است.

  روش زیر تا قرن نوزدهم مورد علاقه حسابی نبود. این کتاب در کتابهای حسابی اتریشی در اواسط قرن نوزدهم استفاده شده است.

  روش تفریق اتریشی فقط شامل علاوه بر این است. از مبلغی که برای جمع آوری تا "ستون مقدار مکان" بعدی ، سپس به قسمت بعدی و غیره اضافه کنید ، اضافه کنید.

  11 149 - 5592 را پیدا کنید

  5600 + 400 = 6000.

  6000 + 5000 = 11 000.

  11 000 + 149 = 11 149.

  بنابراین پاسخ 8 + 400 + 5000 + 149 = 5557 است.

  تاریخ ریاضیات ، D. E. Smith ، انتشارات داور نیویورک ، (1958)

  مرد و شماره ، دونالد اسملتزر ، آدام و چارلز بلک ، لندن ، (1965)

  ریاضیات ابتدایی برای معلمان ، توماس پارکر و اسکات بالدریج ، انتشارات Sefton-Ash ، میشیگان ، ایالات متحده ، (2004)

  پاسخ به تمرینات

  a 84 b 118 c 3 d 36

  

  1518

  پروژه بهبود ریاضیات در مدارس (Times) پروژه 2009-2011 توسط وزارت آموزش و پرورش ، اشتغال و روابط در محل کار دولت استرالیا تأمین شد.

  نظرات بیان شده در اینجا نظرات نویسنده است و لزوماً نمایانگر نظرات وزارت آموزش و پرورش ، اشتغال و روابط در محل کار دولت استرالیا نیست.